Otázka:
Odvození slabé formy pro rovnice euler-bernoulliho paprsku
user26767
2016-01-08 02:54:50 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jsem studentem a zadávám metodu konečných prvků. V pokynu jsem nemohl pochopit odvození slabé formy, což by nemělo být obtížné. Je mi líto, že jsem zveřejnil tuto snadnou a s největší pravděpodobností ne užitečnou otázku pro ostatní lidi.

Takže odvození je o slabé formě integrální formulace 4. ODE. Jedná se o jednoduchou deformaci paprsku v intervalu 0 a L. $$ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} dx = ... $$$$ \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left ( \ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = L} \ right. $$

Přemýšlel jsem o částečné integraci $$ \ int u (x) v '(x ) \, dx = u (x) v (x) - \ int v (x) \, u '(x) dx $$ pak jsem skončil $$ \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ frac {dw} {dx} - \ int \ frac {dw} {dx} \ frac {d ^ 3x} {dx ^ 3} dx $$, pokud budu pokračovat v částečné integraci do druhého členu, bude derivace 4. řádu .. .

Jak mohu získat následující? $$ \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0 } \ right. - \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} { dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {d x ^ 2} \ vpravo | _ {x = L} \ vpravo. $$

Vaše integrace je správná. Mějte na paměti, že w je testovací funkce, která je nulová na hranici domény. Výrazy vynásobené w jsou tedy stále identicky nulové.
Výraz $ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} dx = ... $ je již ve slabé formě . Proč znovu integrujete tuto rovnici? Snažíte se získat silnou formu PDE? Prosím vysvětlit.
moje otázka je, jak můžete odvodit pravou stranu z levé strany v rovnici, $$ \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u }} {dx ^ 2} dx = \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left ( \ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ right | _ {x = 0} \ right. - \ left (\ left. w EI \ frac {d ^ 3 \ hat {u}} {dx ^ 3} \ right | _ {x = L} \ right. + \ left (\ left. \ frac {dw} {dx} EI \ frac {d ^ 2 \ hat {u}} {dx ^ 2} \ vpravo | _ {x = L} \ vpravo. $$
Jeden odpovědět:
Paul
2016-01-12 21:25:43 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Je snazší porozumět této identitě, pokud začnete s parciální diferenciální rovnicí pro rovnici vychýlení paprsku Euler-bernoulliho

$$ \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] = 0 $$

a pokračujte ve slabé formě.

Vynásobte obě strany rovnice libovolnou testovací funkcí $ w $. Poté použijte integraci po částech (pouze jednou) přes doménu [0, L]. Získáte:

$$ w \ frac {d} {dx} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ bigg | _0 ^ L - \ int_0 ^ L \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ frac {dw} {dx} = 0. $$

Poté znovu použijeme integraci po částech, získat:

$$ w \ frac {d} {dx} \ left [EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ right] \ bigg | _0 ^ L - \ frac {dw } {dx} EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} \ bigg | _0 ^ L + \ int_0 ^ L \ frac {d ^ 2w} {dx ^ 2} EI \ frac {d ^ 2u} {dx ^ 2} = 0 $$

Přeskupením termínů vyhodnocených na 0 a L na pravé straně získáte rovnici, kterou uvedete.



ⓘ
Tyto otázky a odpovědi byly automaticky přeloženy z anglického jazyka.Původní obsah je k dispozici na webu stackexchange, za který děkujeme za licenci cc by-sa 3.0, pod kterou je distribuován.
Loading...