Zde uvádíme vzorce, které používáme
$$ EI \ frac {d ^ 4 \, \ delta y} {d \, x ^ 4} = q (x) $$$$ I = \ int (y- \ bar y) ^ 2 dA $$$$ \ bar y = \ frac1 {A} \ int y \; dA $$
$$ \ sigma_ {max} = y_ {max} E \ frac {d ^ 2 \, \ delta y} {d \, x ^ 2} _ {max} $$
Kde $ A $ je průřezová plocha paprsku, $ y $ je poloha podél osy ve směru zatížení paprsku, $ \ delta y $ je průhyb v směr načítání, $ E $ je modul pružnosti (vyhledejte matweb, abyste získali hodnotu pro svůj materiál), a nakonec $ q (x) $ je funkce zatížení na vzdálenost.
Zde je návod, jak použít je
Pro obdélníkovou trubku s výškou $ H $, šířkou $ W $ a tloušťkou $ t $ máme:
$$ \ bar y = 0 $$$$ I = W \ int _ {- \ frac {H} 2} ^ {\ frac {H} 2} y ^ 2 \; dy- (W-2t) \ int _ {- \ frac {H} 2 + t} ^ {\ frac {H} 2-t} y ^ 2 \; dy = \ frac {H ^ 3W- (H-2t) ^ 3 (W-2t)} {12} $$
Pro $ H = 4 \, v \ ,, \ quad W = 2 \, v \ ,, \ quad t = .1875 \, v $
$$ I \ cca4,2 \, v ^ 4 $$
Nyní dochází k zatížení paprskem, toto je pravděpodobně místo, kde jste narazili na potíže. Nejprve se podívejme na konzolový nosník:
Zde jsou načteny pouze dva body, podpora a špička. Přemýšlejte o scénáři skokanského můstku. Řekneme, že podpora je na $ x = 0 $ a zatížení $ F $ je na $ x = L $$$ q (x) = - \ delta (x) F + \ delta (xL) F $$
$$ EI \ frac {d ^ 4 \, \ delta y} {d \, x ^ 4} = q (x) $$
$$ EI \ frac {d ^ 3 \, \ delta y} {d \, x ^ 3} = \ int_ {0 ^ -} ^ xq (x) dx = F $$
Tím se v zásadě říká, že existuje stálé smykové napětí v paprsku celou cestu.
$$ EI \ frac {d ^ 2 \, \ delta y} {d \, x ^ 2} = \ int F dx + C = F (xL) $ $
Tento výraz je pro ohybový moment v nosníku. Víme, že volný konec musí mít ohybový moment nula, proto jsme nastavili integrační konstantu, aby se tomu přizpůsobilo.
$$ \ frac {d \, \ delta y} {d \, x} = \ frac1 {EI} \ int F (xL) dx + C = \ frac {F} {EI} (\ frac12 x ^ 2-Lx) $$
Představuje sklon vychýleného paprsku. Tady víme, že sklon musí být na podpěře nulový, proto jsme odpovídajícím způsobem nastavili integrační konstantu.
$$ \ delta y = \ frac {F} {EI} \ int \ frac12 x ^ 2-Lx \; dx + C = \ frac {F} {EI} (\ frac16 x ^ 3- \ frac {L} 2 x ^ 2) $$
Zde víme, že průhyb je u podpory nulový, takže jsme odpovídajícím způsobem nastavte integrační konstantu eh. Pokud se nyní chceme podívat na průhyb na konci, připojíme $ x = L $
$$ \ delta y = - \ frac {FL ^ 3} {3EI} $$
To odpovídá rovnici na posledním webu ve vašem příspěvku.
Z matweb pro středně legovanou ocel máme $ E = 30 \, 000 \, ksi $ So připojení:
$$ \ delta y = - \ frac {3,750 \, klb \, (216 palců) ^ 3} {3 \, 30000 \, ksi \, 4,2 \, ve ^ 4} \ cca -100 \, v $$
Přesně to vyrobila online kalkulačka. Pokud byste se však pokusili načíst takový paprsek, trvale by se deformoval. Páčka o délce 18 stop je opravdu dlouhá a ohne sopel z tenkého stěnového nosníku o rozměrech 4 palce pouze s mírnými obtížemi. Jde o to, že přívěs není konzolový nosník.
Pojďme se tedy podívat na rozumnější scénář načítání. Pojďme modelovat nápravy jako bodové zatížení umístěné $ 40 \, v $ a $ 80 \, v $ od konce přívěsu, zatížení $ 7500 lbf $ distribuované přes zadní $ 18 \, ft $ a husí krk podporují dalších $ 5ft $ před tím.
Nyní některé z našich zatížení ještě nejsou známy, ale některé z nich můžeme v tomto procesu zjistit. Některé však nemůžeme, přidejme tedy další omezení. Rozdělení hmotnosti bude rozděleno mezi nápravy podle proměnné $ \ alpha $
$$ F_ {axles} = F_ {zadní} \ frac1 {\ alpha} = F_ {přední} \ frac1 {( 1- \ alpha)} $$
Nyní máme:
$$ q (x) = - \ frac {F} {L} H (Lx) + F_ {osy } (\ alpha \ delta (x-x_ {zadní}) + (1- \ alpha) \ delta (x-x_ {přední}) + (F-F_ {axels}) \ delta (x-x_ {husa}) $$
Integrace:
$$ EI \ frac {d ^ 3 \, \ delta y} {d \, x ^ 3} = \ begin {cases} - \ frac {F} {L} x & x \ leq x_ {zadní} \\ - \ frac {F} {L} x + F_ {axels} \ alpha & x_ {zadní} \ lt x \ leq x_ {přední} \\ - \ frac {F} {L} x + F_ {axels} & x_ {front} \ lt x \ leq L \\ F_ {axels} -F & L \ leq x \ end {případy} $$
Pak znovu integraci:
$$ EI \ frac {d ^ 2 \, \ delta y} {d \, x ^ 2} = \ begin {cases} - \ frac {F} { 2L} x ^ 2 & x \ leq x_ {zadní} \\ - \ frac {F} {2L} x ^ 2 + F_ {axels} \ alpha (x-x_ {zadní}) & x_ {zadní} \ leq x \ leq x_ {front} \\ - \ frac {F} {2L} x ^ 2 + F_ {axels} (x- (1- \ alpha) x_ {front} - \ alpha x_ {rear}) & x_ {front } \ leq x \ leq L \\ (F_ {axels} -F) (x-x_ {goose}) & L \ leq x \ end {cases} $$
Pamatujte, že tento ohybový moment musí být být spojité a oba konce musí být nulové, protože na koncích není aplikován žádný ohybový moment (mohou se volně otáčet) To vede k dalšímu omezení, které lze použít k nalezení $ F_ {nápravy} $
$$ F_ {axels} = F \ frac {x_ {goose} - \ frac {L} 2} {x_ {goose} - (1- \ alpha) x_ {front} - \ alpha x_ {rear}} $$
Chcete-li však zachovat kratší výrazy, nechte ve výrazech $ F_ {axels} $.
Nyní bude sklon:
$$ \ frac { d \, \ delta y} {d \, x} = \ frac1 {EI} \ begin {cases} - \ frac {F} {6L} x ^ 3 + C_1 & x \ leq x_ {zadní} \\ - \ frac {F} {6L} x ^ 3 + F_ {axels} \ alpha \ frac12 (x-x_ {zadní}) ^ 2 + C_1 & x_ {zadní} \ leq x \ leq x_ {přední} \\ - \ frac {F} {6L} x ^ 3 + F_ {axels} (\ alpha \ frac12 (x-x_ {zadní}) ^ 2+ (1- \ alpha) \ frac12 (x-x_ {přední}) ^ 2) + C_1 & x_ {přední} \ leq x \ leq L \\ (F_ {axels} -F) \ frac12 (x-x_ {goose}) ^ 2 + C_2 & L \ leq x \ end {cases} $$
A na v tomto bodě jsem přešel k numerickému řešení. Znovu jsem integroval a našel hodnoty pro všechny konstanty, takže sklon i posun byly spojité a posunutí u husy a zadní nápravy bylo nulové. Výsledný průhyb měl maximum asi 2 palce. Použil jsem ale plnou zátěž a měl jsem použít poloviční zátěž a dát 1 palec. To mi zní dobře.
Všimněte si, že špičkový ohybový moment je $ 9 \, kN \, m $, který po vynásobení polovinou naší výšky a děleném momentem oblasti dává špičkové napětí ve výši $ 38 ksi $, což je asi 13% mez kluzu média legovaná ocel na matweb. Můžete si myslet, že by to stačilo, ale toto je pouze pro statický přívěs, nikoliv pro pohybující se a narážející kolem.
Síly zrychlení na přívěsu by mohly krátkodobě ztrojnásobit zatížení. Nárazy na silnici navíc cyklují zatížení, takže to není mez kluzu, na kterou se chcete podívat, ale únavová pevnost v příslušném počtu cyklů, které má přívěs vydržet. Únavová pevnost může být pouhých 10% meze kluzu, takže bych chtěl minimální faktor zatížení asi 30 (3/10%), pak přidejte faktor bezpečnosti 2 a vaše paprsky musí být asi 60krát silnější, než by bylo požadováno pro splnění vašeho meze kluzu ve scénáři statického zatížení. Stručně řečeno, šel bych s většími paprsky.