Nejsem si úplně jistý, zda se řídím vašimi derivacemi, konkrétně si nejsem jistý, kde získáte rovnici pro Von Karmanovu směšovací délku a proč vám ekvivalence tau a $ \ tau_0 $ dává Prandtlův model turbulence, který máte napsat později (omlouvám se, protože nemohu dosáhnout správného formátování rovnic, ale mám na mysli rovnice, které píšete ihned po uvedení $ \ tau = \ tau_0 $).
Bez ohledu na to v kontextu poslední otázka, obvykle nepotřebujete řešit žádnou diferenciální rovnici, jakmile vám řeknou, že zákon logaritmického překrytí desrcibuje tok, což je: $ u / U ^ * = C_1 \ ln (y / R) + C_2 $ . V publikaci Fluid Mechanics by White na straně 364 říká tolik „Pro turbulentní tok potrubí nemusíme řešit diferenciální rovnici, ale místo toho postupujeme podle logaritmického zákona ...“
V reakci na to, zda potřebujete Pokud jde o viskózní podvrstvu, domnívám se, že odpověď je ne. Jakmile vám otázka řekne, že tok je určen logaritmickým vztahem, pak pro tento konkrétní tok nebude platit žádná viskózní rovnice podvrstvy. V tomto případě můžete předpokládat Von Karmanovu konstantu $ k = 0,41 $ (pro průtok potrubím) a $ C_1 = 1 / k $ a $ C_2 = 5,0 $ (také pro průtok potrubím). Je pravda, že toto bylo právě vytaženo ze stolů, takže možná to není to, co hledáte. Přesto jsme byli požádáni, abychom tyto problémy vyřešili. Po použití těchto hodnot stačí provést jednoduchou substituci na základě zadaných údajů a vypočítat $ U ^ * $ z rovnice $ U ^ * = \ sqrt {\ tau_0 / \ rho } $. (viz úprava níže)
V reakci na otázku okrajových podmínek rozumím tomu, že rovnice, která vám byla v otázce dodána, je zákon logaritmického překrývání. Tyto konstanty nebyly vyřešeny použitím okrajových podmínek; byly vyřešeny experimentem. Toto můžete vidět zde https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_wall#General_logarithmic_formulation.
Pokud znáte Reynoldovu rovnici napětí, lze ji ve 2D snížit:
$ \ tau + \ tau_ {turbulence} = \ tau_ {wall} $ (nebo ve vaší notaci) $ \ tau_0 $)
Odtud je možné jej nedimenzionalizovat a použít okrajové podmínky s TUTO rovnicí za účelem vygenerování zákona o logaritmickém překrytí a dalších platných řešení k popisu toku. Jinými slovy, zákon o logaritmickém překrytí je výsledkem Reynoldsovy rovnice napětí a konstanty v zákoně o logaritmickém překrytí byly stanoveny experimentálně. Doufám, že to pomůže, a omlouvám se za mizerné formátování.
EDIT: Ve třetím odstavci jsem udělal významnou chybu. Tato otázka vás požádá, abyste našli smykové napětí, ale „provést jednoduchou substituci pomocí uvedených údajů“ vám to nepomůže, protože neznáte ani U *, ani $ \ tau_o $.
Konkrétně, aby rovnice byla zákonem logaritmického překrytí, pak
$ y / R = (y * U ^ *) / \ nu $, kde $ \ nu $ je kinematická viskozita. -> Pokud si nejste jisti, odkud to pochází, přečtěte si toto: https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_wall. Jednoduše používá normalizované rovnice.
Z toho můžete vypočítat $ \ tau_o $ ve smyslu R, podle otázky. Chcete-li to provést, srovnejte U * z hlediska R a poté použijte $ U ^ * = \ sqrt {\ tau_o / \ rho} $. To vám umožní vyřešit pro tau z hlediska R.